La musique recommandée pour cette section Enigma
Une expérience virtuelle pour un conte mathématique
Impossible de consacrer un site à la découverte de l'espace sans passer par une section qui s'occupe du problème le plus irritant pour le cartographe, la projection, puisque pour plaquer la terre sur une carte il faut la déformer. Pour représenter la Terre il faut tricher soit avec les angles, soit avec les dimensions, ce qui est parfaitement illustré par l'image ci-dessus tiré du traité d'Emmanuel de Martonne (largement décrit ici).
Mais les mathématique effraient la plupart des lecteurs, comment explorer les facettes les plus fascinantes de ce problème de géométrie à ... voyons, ca commence déjà, à trois dimensions comme le monde ? ou à deux dimensions comme le plan parfois appelé carte ? Pour garder les lecteurs autour de mon exposé, j'ai pensé que le mieux serait d'écrire un conte qui fasse semblant de simplifier ces problèmes.
Rassurez-vous, je suis comme vous, j'ai plein de questions et bien peu de réponses...
Mais les mathématique effraient la plupart des lecteurs, comment explorer les facettes les plus fascinantes de ce problème de géométrie à ... voyons, ca commence déjà, à trois dimensions comme le monde ? ou à deux dimensions comme le plan parfois appelé carte ? Pour garder les lecteurs autour de mon exposé, j'ai pensé que le mieux serait d'écrire un conte qui fasse semblant de simplifier ces problèmes.
Rassurez-vous, je suis comme vous, j'ai plein de questions et bien peu de réponses...
Nous allons donc tenter de nous échapper de la perception qui nous enferme dans ses conclusions logiques et chercher à percevoir une autre lumière au loin qui nous sortirait des seules projections de la cave de Platon, comme l'a si bien illustré Camille Flamarion dans cette astronomie allégorique.
En effet, Imaginer les dimensions de l’univers implique s’en faire une image mentale à travers des expériences de pensée. En voici une série qui nous permettront d’explorer peu à peu quelques constructions intéressantes pour illustrer des notions telles que le temps qui passe ou une forme qui se développe à partir d’un modèle mathématique très simple. |
Au début il y a cette cosmologie indoue qui dit que le monde est une succession de rêves de brahmanes, puis qui développe cette vision en posant que ces rêves traverseraient le monde dans lequel nous vivons et que nous ne percevrions que les traces du passage de ces rêves.
Pour construire mentalement un espace-temps à 4 dimensions, nous allons d’abord imaginer vivre dans un espace de perception limité à 2 dimensions, c’est à dire un horizon plat sans altitude. Nous y observerons le passage d’un objet à trois dimensions et verrons quelles leçons nous pouvons en tirer pour construire la troisième dimension spatiale.
Puis nous nous demanderons comment faire évoluer cette image mentale de notre monde à celui d’un continuum à 4 dimensions… Si nous avons de la chance, nous croiserons le chemin du temps avant de croiser celui de la troisième dimension géométrique pour nous échapper de notre carcan cognitif à 2 dimensions. Nous utiliserons tout au long de cette ballade mentale le langage mathématique que nous avons découvert dans notre jeunesse…
Pour construire mentalement un espace-temps à 4 dimensions, nous allons d’abord imaginer vivre dans un espace de perception limité à 2 dimensions, c’est à dire un horizon plat sans altitude. Nous y observerons le passage d’un objet à trois dimensions et verrons quelles leçons nous pouvons en tirer pour construire la troisième dimension spatiale.
Puis nous nous demanderons comment faire évoluer cette image mentale de notre monde à celui d’un continuum à 4 dimensions… Si nous avons de la chance, nous croiserons le chemin du temps avant de croiser celui de la troisième dimension géométrique pour nous échapper de notre carcan cognitif à 2 dimensions. Nous utiliserons tout au long de cette ballade mentale le langage mathématique que nous avons découvert dans notre jeunesse…
Il était une fois des êtres doués d’intelligence qui vivaient dans un espace à deux dimensions appelé Flatland. Soient 2 axes perpendiculaires X et Y qui se croisent au point 0. Tout point de ce plan horizontal peut être décrit par sa position selon X et Y.
Appelons Z un axe passant par O, le croisement de deux axes X et Y perpendiculaires entre eux.
Il ne peut pas être perçu par les habitants de Flatland mais pourrait en être conceptualisé par ses experts en mathématique, que la plupart de leurs concitoyens prennent au mieux pour de doux réveurs, au pire pour d'affreux sorciers. |
Il est possible d’y décrire des points sans dimensions, des courbes qui correspondent à des points se déplaçant sans discontinuités ou encore des surfaces qui représentent des espaces clos par des courbes sans discontinuité.
Pour l’être intelligent que nous observons, tous ces phénomènes se font dans ce monde à deux dimensions, qu’il peut ensuite répéter pour s’assurer de leur exactitude. Il peut aussi construire une théorie lui permettant de décrire les phénomènes observés. Nous admettrons qu’il peut développer toutes les théories purement numériques et une géométrie limitée à 2 dimensions mais semblable aux postulats d’Euclide.
Idéalement, leur théorie tente aussi de prévoir le résultat du déplacement des points, des lignes et des surfaces qui sont perçues par ces êtres si intéressés à comprendre leur environnement.
Pour l’être intelligent que nous observons, tous ces phénomènes se font dans ce monde à deux dimensions, qu’il peut ensuite répéter pour s’assurer de leur exactitude. Il peut aussi construire une théorie lui permettant de décrire les phénomènes observés. Nous admettrons qu’il peut développer toutes les théories purement numériques et une géométrie limitée à 2 dimensions mais semblable aux postulats d’Euclide.
Idéalement, leur théorie tente aussi de prévoir le résultat du déplacement des points, des lignes et des surfaces qui sont perçues par ces êtres si intéressés à comprendre leur environnement.
Puisqu’à Flatland les êtres intelligents ont la possibilité de développer des théories géométriques, examinons ce qu’ils peuvent déduire de triangles équilatéraux, une figure particulièrement simple. Ils auront rapidement remarqué qu’il est possible de combiner six triangles équilatéraux afin de former un hexagone.
Ou encore qu’il est possible d’inscrire un hexagone dans un triangle rectangle en donnant la valeur du 1/3 de la base du triangle équilatéral ABC pour dessiner le petit triangle AED puis de répéter cette opération deux fois. Ou qu'en rabattant les triangles de l'hexagone vers l'extérieur, il est possible de créer une étoile de David. |
Toutes ces observations sont compatibles avec la géométrie d’Euclide, qui définit une série de structures qui limitent spatialement les phénomènes physiques, mais dans un esapce à deux dimensions seulement. Comment faire surgir une nouvelle dimension spatiale ? Simplement en ajoutant ou en enlevant un des 6 triangles de l'hexagone...
Dans un livre peu connu mais simplement merveilleux, les formes de la nature, Peter Stevens explique comment les structures de l’espace définissent ce qui peut s’y passer. Contrairement à une idée reçue, l’espace n’est pas une scène vide sur laquelle tout pourrait se passer. Il est au contraire la principale contrainte qui régit quels phénomènes sont possibles ou lesquels sont inévitables. Reprenons l’exemple des triangles équilatéraux: six des ces triangles se combinent en un hexagone. Mais si on essaie d’en assembler 5, ils forment un cône, une figure en 3 dimensions inimaginable à Flatland. Et si on en combine 7, elle forme une surface ondulée appelée une selle, ici aussi en 3 dimensions. Que d’angoisses existentielles lorsqu'on s’éloigne du chiffre 6, de quoi rendre mystique n’importe quel géomètre. Mathématicien du dimanche, le 7ème jour, n'est décidément pas simple...
Ainsi pour faire surgir une nouvelle dimension, il suffirait de légèrement modifier le nombre de composantes semblables d'une figure composée. Mais alors comment faire surgir une nouvelle forme?
Ainsi pour faire surgir une nouvelle dimension, il suffirait de légèrement modifier le nombre de composantes semblables d'une figure composée. Mais alors comment faire surgir une nouvelle forme?
Toujours tiré de Stevens, une explication simple: en déplacant légérement un peu de matière...
Une goutte de liquide qui s’étale forme un cercle, la même forme que prend une boulette d’argile écrasée uniformément: la matière s’étale sous une poussée homogène en une figure parfaite qui a fasciné les Grecs.
Mais si la boulette d’argile est comprimée plus fortement au centre que sur les bords, elle va prendre la forme d’un bol, équivalent au cône construit avec 5 triangles équilatéraux. Et si la boulette est plus comprimée sur les bords qu’au centre, elle finira par former une selle, la même que tout à l'heure.
S'il est impossible dans Flatland de concevoir un cône ou un bol, il sera bien difficile de s’y imaginer une force externe donnant une forme spécifique à l’espace à deux dimensions dans lequel vit Flatland.
Il faut donc faire une expérience où mathématique spatiale et phénoménologie de la perception se rencontrent fortuitement... Faisons passer un cyclindre à travers Flatland
Une goutte de liquide qui s’étale forme un cercle, la même forme que prend une boulette d’argile écrasée uniformément: la matière s’étale sous une poussée homogène en une figure parfaite qui a fasciné les Grecs.
Mais si la boulette d’argile est comprimée plus fortement au centre que sur les bords, elle va prendre la forme d’un bol, équivalent au cône construit avec 5 triangles équilatéraux. Et si la boulette est plus comprimée sur les bords qu’au centre, elle finira par former une selle, la même que tout à l'heure.
S'il est impossible dans Flatland de concevoir un cône ou un bol, il sera bien difficile de s’y imaginer une force externe donnant une forme spécifique à l’espace à deux dimensions dans lequel vit Flatland.
Il faut donc faire une expérience où mathématique spatiale et phénoménologie de la perception se rencontrent fortuitement... Faisons passer un cyclindre à travers Flatland
|
Soit un cercle de rayon r. Un tel objet peut exister dans un espace à deux dimensions, et en l’étudiant nos êtres intelligents ont découvert qu’il y a une relation entre le rayon et le périmètre du cercle qui vaut 2πr. Un cylindre est difficilement concevable dans Flatland car il s’agit de la continuation d’un cercle projeté dans une troisième dimension géométrique. Par contre, l’intersection d’un tel cylindre avec le plan XY dessine un cercle de rayon r. Imaginons maintenant qu’un tel cylindre se déplace à une vitesse v parallèlement à l’axe Z.
Que verraient les habitants de Flatland? Au moment où le rebord inférieur du cylindre touche le plan XY, ils verraient apparaître tout d’un coup un cercle de rayon r. Après un temps t = h/v, soit le temps pour le cylindre de traverser le plan XY, ils verraient le cercle disparaître. |
L’observation dans Flatland serait que parfois apparaissent des cercles qui durent un certain temps. Imaginons que ses habitants aient les moyens de mesurer le temps, ils écriraient des chronique d’apparition et de disparition de cercles. Difficile de faire plus de géométrie avec cette expérience virtuelle élémentaire...
Il faut toujours se méfier des conteurs, qui sont là pour vous égarer. Mine de rien, une trosième dimension a ainsi été introduite subrepticement, le temps qui forme, du moins selon Einstein, un continuum avec les 3 dimensions de l'espace de notre univers cognitif.
Une sphère a une superficie à une distance constante de son centre, celle d’un rayon r. La plus grande distance entre deux points de sa surface est le diamètre d qui passe par le centre C de la sphère.
On peut définir deux points antipodaux, N pour le point le plus loin et S le point le plus proche d’un plan XY horizontal. Appelons Z l’axe vertical parallèle à ces deux points S et N passant par O, le croisement des axes X et Y. |
Alignons maintenant les point N et S sur l’axe Z. Imaginons que cette sphère se déplace verticalement avec une vitesse uniforme vers le bas. La sphère touchera d’abord le point O par le pôle S, puis traversera le plan XY.
Que verraient les habitants de Flatland pendant ce passage? Un point apparaître au point 0. Puis un cercle qui grandit jusqu’au diamètre d en un temps t = r/v tel que rerpésenté sur la figure à gauche. Puis un cercle qui se réduit à zéro en un temps t =r/v. Puis un point au point 0. Puis plus rien. |
Puisqu’ils peuvent mesurer le temps qui passe, ils auront constatés que l’accroissement du cercle n’est pas linéaire dans le temps. Leurs arithméticiens peuvent maintenant essayer de décrire cet accroissement et prévoir son déroulement dans le temps.
Pour mesurer le rayon r, il nous suffit de savoir quelle est la position du centre C de la sphère par rapport au point 0. Selon Pythagore, OM2 + OC2 = CM2, donc OM = racine de CM2- OC2. Il est également facile de calculer la valeur du rayon de la section et de faire varier la distance OC de 1 à 0 puis de 0 à 1.
Commençons par la variation du rayon de la section lorsque la partie inferieure de la sphère traverse le plan XY. Il augment de 0 à 10 pour le rayon d’une sphère S de 10 unités. Le tableau à droite donne le rayon de la section en fonction de la progression de la sphère,
Les arithméticiens de XY ont construit ce graphe puis ont cherché quelle courbe de tendance décrit le mieux la variation du rayon de la section. Grâce à Excel, ils ont trouvé que c’était une équation logarithmique qui colle le mieux à leurs mesures. La variation du rayon du cercle serait proportionnel au logarithme d’une fraction du rayon maximum, et le monde aurait donc différents ordres de grandeurs.
Commençons par la variation du rayon de la section lorsque la partie inferieure de la sphère traverse le plan XY. Il augment de 0 à 10 pour le rayon d’une sphère S de 10 unités. Le tableau à droite donne le rayon de la section en fonction de la progression de la sphère,
Les arithméticiens de XY ont construit ce graphe puis ont cherché quelle courbe de tendance décrit le mieux la variation du rayon de la section. Grâce à Excel, ils ont trouvé que c’était une équation logarithmique qui colle le mieux à leurs mesures. La variation du rayon du cercle serait proportionnel au logarithme d’une fraction du rayon maximum, et le monde aurait donc différents ordres de grandeurs.
Pendant ce temps les arithméticiennes de XY ont également construit un graphe prenant en compte l’expansion puis la contraction du cercle. Grâce à Excel toujours, elles ont découvert que la meilleure courbe de tendance est une équation du second degré, et le monde serait exponentiel.
Elles ont également examiné la question de savoir si l’évolution du rayon du cercle dans le monde XY peut être décrit par une équation logarithmique et sont arrivées à la conclusion que c’était une très mauvaise approche comme l’illustre la courbe violette sur la figure ci dessus, qui représente une telle courbe de tendance sur l’ensemble du cycle. |
Allons nous assister à une nouvelle sorte de guerre des genres?
Pour éviter cette guerre, comme toujours, il faut qu’un événement inattendu se produise et réussisse à détourner l’attention des futurs belligérants. Dans notre cas, le conteur décide de faire passer un cylindre, non plus perpendiculairement dans le plan XY, mais avec un angle de 45 degrés. Imaginons maintenant que ce cylindre se déplace à une vitesse v parallèlement à l’axe Z. Comment réagiraient les habitants de Flatland à ce passage ? Et quelles leçons pourraient-ils espérer tirer de ce phénomène ? L’intersection d’un tel cylindre avec le plan XY dessine d’abord un point, puis un arc de courbe, puis une ellipse qui se déplace le long de l’axe Y, puis à nouveau un arc de courbe avant de disparaître. |
La courbe dessinée par le cylindre de biais garde un diamètre d = 2r le long de l’axe X mais voit son diamètre selon Y augmenter d’un facteur de √2 ou encore 1,414.
|
Pour nous qui vivons dans un monde à trois dimensions les relations sont assez simple: Lorsqu’on coupe un cône de révolution, le plan découpera soit une ellipse, soit une parabole, soit une hyperbole selon l’angle du plan sécant par rapport à l’axe vertical appelé une génératrice. (Voir ici).
Les arithméticiennes de Flatland remarquèrent que l’arc de courbe qui apparaît en premier est une fonction exponentielle, ce qui les confirma dans leur a priori que le monde est gouverné principalement par des puissances...
Les arithméticiens de Flatland furent les premiers à comprendre que la courbe qui dure un certain moment est une ellipse, dont l’équation est effectivement du second degré.
Mais ce qui troublait autant les arithméticiennes que les arithméticiens était le fait que la trace visible, parfois une l’ellipse dans ce cas, se déplaçait à une vitesse uniforme le long du grand axe de l’ellipse.
Les arithméticiens de Flatland furent les premiers à comprendre que la courbe qui dure un certain moment est une ellipse, dont l’équation est effectivement du second degré.
Mais ce qui troublait autant les arithméticiennes que les arithméticiens était le fait que la trace visible, parfois une l’ellipse dans ce cas, se déplaçait à une vitesse uniforme le long du grand axe de l’ellipse.
Avant de continuer, il faut brièvement imaginer la physique du monde XY, bien différente de celle qui règle notre vie quotidienne. Si la mesure du temps est possible - ne me demandez pas comment, je ne suis que le conteur, par un horloger flatlandien – la gravité si centrale dans nos vies n’existe pas. Elle crée une grande différence entre le plan horizontal et tout ce qui lui est soumis, principalement dans sa dimension verticale. Or, sur Flatland, les deux dimensions X et Y sont parfaitement semblables, Z n’existe simplement pas et la gravité est par conséquent impossible...
Pourtant la notion de vitesse existe, un point pouvant se déplacer sur une distance plus ou moins grande dans un même intervalle de temps. Les arithméticiens ont donc pu mesurer à intervalle régulier la dimension du cercle puis de l’ellipse et étudier son évolution dans le temps.
S'il existe bien une relation entre la durée du phénomène et le diamètre de la sphère parallèle à l’axe z, (t=2r/v = d/v pour nous qui voyons 3 dimensions), quel est le moteur qui fait durer le cercle ou fait évoluer/durer l’ellipse? Comment les physiciens flatlandiens vont-ils éviter de devoir concevoir une troisième dimension géométrique?
Assez rapidement ces être intelligents ont compris qu’il y avait un lien entre le phénomène observé et le temps qui passe, mais ce phénomène reste bien mystérieux et ne semble pas accessible avec les outils d’analyse traditionnel. Pour construire une image mentale d’un monde à trois dimensions dont on ne perçoit que la trace du passage dans un monde à deux dimensions, il faudra attendre qu’un esprit aussi original que celui de Képler naisse sur Flatland… Un être intelligent qui osera proposer une explication simple : il existe un monde à trois dimensions géométriques dans lequel se déroulent des phénomènes ayant une durée dont nous ne voyons que la trace dans le monde à deux dimension qui est le nôtre. C'est presque une définition du problème de la projection, puisque le cartographe lui aussi essaie de plaquer un monde à 3 dimensions sur une surface plane.
Bien sûr les fanatiques religieux de Flatland essaieront de brûler cette physicienne et toute sa tribu, par simple incapacité de comprendre un monde trop différent de leur cercle étriqué de vision.
Et les philosophes essaieront de savoir ce que cela change en terme d’éthique, de métaphysique, de liberté ou de responsabilité individuelle. Mais ceci est une autre histoire.
Pourtant la notion de vitesse existe, un point pouvant se déplacer sur une distance plus ou moins grande dans un même intervalle de temps. Les arithméticiens ont donc pu mesurer à intervalle régulier la dimension du cercle puis de l’ellipse et étudier son évolution dans le temps.
S'il existe bien une relation entre la durée du phénomène et le diamètre de la sphère parallèle à l’axe z, (t=2r/v = d/v pour nous qui voyons 3 dimensions), quel est le moteur qui fait durer le cercle ou fait évoluer/durer l’ellipse? Comment les physiciens flatlandiens vont-ils éviter de devoir concevoir une troisième dimension géométrique?
Assez rapidement ces être intelligents ont compris qu’il y avait un lien entre le phénomène observé et le temps qui passe, mais ce phénomène reste bien mystérieux et ne semble pas accessible avec les outils d’analyse traditionnel. Pour construire une image mentale d’un monde à trois dimensions dont on ne perçoit que la trace du passage dans un monde à deux dimensions, il faudra attendre qu’un esprit aussi original que celui de Képler naisse sur Flatland… Un être intelligent qui osera proposer une explication simple : il existe un monde à trois dimensions géométriques dans lequel se déroulent des phénomènes ayant une durée dont nous ne voyons que la trace dans le monde à deux dimension qui est le nôtre. C'est presque une définition du problème de la projection, puisque le cartographe lui aussi essaie de plaquer un monde à 3 dimensions sur une surface plane.
Bien sûr les fanatiques religieux de Flatland essaieront de brûler cette physicienne et toute sa tribu, par simple incapacité de comprendre un monde trop différent de leur cercle étriqué de vision.
Et les philosophes essaieront de savoir ce que cela change en terme d’éthique, de métaphysique, de liberté ou de responsabilité individuelle. Mais ceci est une autre histoire.
En première conclusion, les cartographes terrestres ne sont pas très différents des habitants de Flatland, ils essaient de trouver une solution pour représenter la planète quîls habitent en déformant le moins possible soit les formes et en en respectant le mieux possible les proportions relatives. Il existe d'excellents sites qui expliquent toutes les différentes projections.
|
Ici aussi Jacques Bertin a proposé une solution qui force l'admiration, car la déformation totale est minimisé. Il existe en effet un procédé qui consiste à couvrir la carte de cercles puis à vérifier leur déformation, qui s'exprime avec ce que l'on appelle l'indicatrice de Tissot
Si la latitude de 45 degrés semble comprimée, il faut bien admettre que cette projection n'amplifie grossièrement aucune zone, ni n'en dégrade d'autres. Pendant longtemps j'ai essayé d'utiliser cette projections pour les cartes thématiques mais ai dû attendre qu'une solution toute faite soit mise à la disposition du public (merci Philippe Rivière du site visionscarto.org).
|
Une seconde conclusion, la tentative de représenter objectivement la Terre se heurte à un problème géométrique insoluble, il n'existera au mieux que des approximations qui mentent le moins possible. Cela vient du caratère structurant que l'espace impose à l'univers qu'elle construit continuellement. Une rivière ne calcule pas la trajectoire la plus efficace, et un angle n'est pas d'abord conceptualisé avant de s'imposer dans l'organisation spatiale, il correspond simplement mais strictement à l'énergie la plus basse possible d'un système complexe auquel il appartient et contribue en même temps. Lorsque nous choississons une projection pour représenter une carte, nous décidons des contraintes spatiales qu'elle va imposer à la représentation du phénomène à montrer. Choisir celle de Bertin est parier qu'elle permettra de concevoir plus facilement une image forte, ou encore une forme significative perceptible instantanément dans l'instant minimum de vision selon sa propre définition.
Dont acte: en voici une série de quatre pour le plaisir des yeux, carrés d'étonnement ?
Dont acte: en voici une série de quatre pour le plaisir des yeux, carrés d'étonnement ?
,La première carte représente 150 ans de passages de cyclones sur Terre, chaque point jaune représentant un événement de vent très important sur la mer. Les cyclones naissent dans la mer et meurent sur terre, mais avec la bonne projection l'organisation mondiale du phénomène devient saisissable en un seul coup d'oeil... A la beauté de la carte répond son intelligibilité comme le suggère si bien Eduard Imhof dans son livre sur la représentation du relief.
La deuxième carte montre les principaux biomes reconnus par le WWF. Une carte politiquement correcte permet-elle une meilleure lecture des contraintes écologiques ? Je vous laisse le soin d'en juger. Le positionnement de nombreuses terres dans l'hémisphère Nord - qui expliquerait en partie le régime glaciaire actuel - et les biomes spécifiques font la part belle aux forêts boréales dans cette représentation passablement eurocentrique.
La troisième carte montre l'extension de la banquise arctique avec un camaïeu de bleu et celle de la neige avec des teintes blanches glissant vers le gris en janvier 2023 selon les données de la NASA. Une véritable perspective mondiale est possible, mais derrière le prodige se cache évidemment un choix méthodolgique: ce sont les océans qui assument le plus de déformations, comme illustré sur l'indicatrice de Tissot à droite.
|
Nous voilé prêts à acceuillir la dernière carte, d'une conception très différente. Il s'agit en l'occurence de la répartiton de la population urbaine d'une planète découpée avec les polygones de Voronoi, une méthode géométrique on ne peut plus simple, que je vous invite à découvrir dans la prochaine section.